①確率の基本

確率とは？

• 古典的確率（先験的確率）・・・観測や実験に基づかないで論理的な推論によってのみ定義される。
• 相対度数確率（統計的確率）・・・観測、実験による相対度数\(m/n\)から確率\(p\)を探る。繰り返し試行と大量現象における相対度数として確率を捉える。
• 主観確率・・・ある事象の生起に対する個人の確信の度合いとして定義される。実際は、統計的確率をベイズの定理を用いて修正するという方法がとられる。

標本空間と事象

• 標本空間Ｓ・・・１回のデータ収集過程によって起こり得るすべての可能な結果の集合
• 事象Ａ・・・標本空間Ｓの部分集合Ａ。

巾等法則①　\(A \cap A=A\)

巾等法則②　\(A \cup A=A\)

交換法則①　\(A \cup B=B \cup A\)

交換法則②　\(A \cap B=B \cap A\)

結合法則　\(A \cup (B \cup C)=(A \cup B) \cup C\)

分配法則①　\(A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C)\)

分配法則②　\(A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap (A \cup B)\)

ドモルガンの公式①　\((A \cup B)^c=A^c \cap B^c\)

ドモルガンの公式②　\((A \cap B)^c=A^c \cup B^c\)　※\(^c\)は、補集合

確率の公理

標本空間Ｓに属する事象Ａの確率を\(P(A)\)とすると

• 公理１：\(P(A) \geq 0\)：事象Ａには正の実数を割り当てる。
• 公理２：\(P(S)=1\)：確実に起こる事象の確率は１である。
• 公理３：\(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\)：確率は加法的である。

これを公理論的確率という。

基本的確率法則

• \(P( \phi)=0\)
• \(P(A^c)=1-P(A)\)
• \(0 \leq P(A) \leq 1 \)
• \(A\subset B\) ならば \(P(A) \leq (B)\)

計算規則

• 乗法則・・・\(k\)回の実験は\((n_1)通り×(n_2)通り×\cdots ×(n_k)通り\)の可能性がある。
• 順列・・・\(_nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}\) 但し、\(0!=1\)
• 循環順列・・・\((n-1)!\)
• 組み合わせ・・・\(_nC_r=\frac{n!}{(n-r)! r!} = _nC_{n-r} =  _{n-1}C_r + _{n-1}C_{r-1}\)